Die Fensterfunktion

Bevor eine FFT implizit durchgeführt werden kann, muß das Bild mit Fensterfunktion, im englischen window genannt, multipliziert werden. Dies ist notwendig, um den sogenannten ,,leakage-effect`` zu vermeiden.

Ein Verzicht auf ein Fenster ist äquivalent zur Multiplikation mit einer Rechteckfunktion. Eine Multiplikation im Ortsraum entspricht im Fourierraum einer Faltungsoperation (siehe Abschnitt 3.9). Für die Multiplikation mit einer Rechteckfunktion im Ortsraum ergibt im Fourierraum eine Faltung mit der sinc-Funktion [Bracewell, 1965].

Der ,,leakage-effect`` erweist sich als Auswirkung einer Rechteckfensterung im Orts- sowie Zeitbereich [Kammeyer and Kroschel, 1992]. Dies bedeutet, daß die Hauptspektrallinie der sinc-Funktion nicht mehr im Maximum abgetastet wird, wenn die Abtastfrequenz und die Frequenz der sinc-Funktion in einem bestimmten Verhältnis stehen. Dadurch enstehen fehlerhafte Anteile an sämtlichen DFT-Rasterpunkten, es wird von einem ,,Lecken`` der Haupspektrallinie gesprochen.

Abbildung 3.6 zeigt schematisch die Wirkungsweise einer Fensterfunktion. Auf der linken Seite in Abbildung 3.6 ist eine sinusförmige Welle dargestellt, die mit der Fensterfunktion, einem Hanning-Fenster, multipliziert wird. Rechts ist das Ergebnis der Multiplikation zu sehen.

Anschaulich gesehen, soll die Multiplikation mit einer Fensterfunktion die Periodizität des Bildes bei der Transformation gewährleisten, die notwendig ist um Unstetigkeiten zu vermeiden, da die Abtastung im Frequenzraum zu einer periodischen Fortsetzung des Bildes im Ortsraum führt.

In Abbildung 3.7 sind die drei folgenden Fensterfunktionen, sowie das Square-Fenster dargestellt:

In der Praxis liefert das Square-Fenster das schlechteste Ergebnis, da durch die periodische Fortsetzung Sprünge entstehen. Das Welch- und das Hanning-Fenster liefern beide sehr gute Ergebnisse. Hier sind im Spektrum einer idealen periodischen Struktur keine Unterschiede feststellbar.

Der Einfluß der Fensterfunktion auf die spektralen Dichten (Definition in Abschnitt 3.7), und die Auswirkung des ,,leakage-effect``, der bei Verwendung eines Sqaure-Fensters auftritt, soll in einem Vergleich verdeutlicht werden. Die obere Reihe in Abbildung 3.8 zeigt zwei periodische Strukturen verschiedener Wellenzahl und Richtung, rechts ist deren Summe dargestellt. In der unteren Reihe von Abbildung 3.8 sind jeweils die Profile (Schnitte durch eine Zeile) der darüberliegenden Bilder dargestellt.

In Abbildung 3.9 sind die spektralen Dichten der Bilder aus Abbildung 3.8 dargestellt, wobei vor deren Berechnung die Bilder mit einem Hanning-Fenster multipliziert wurden. In der unteren Reihe in Abbildung 3.9 und 3.10 werden die Zeilenprofile gezeigt, die enstehen, wenn die spektralen Dichten in -Richtung integriert werden. Im Kontinuierlichen ergibt eine ideale periodische Struktur im Ortsraum eine -Funktion im Fourierraum. Im Diskreten hingegen erhält man einen ausgedehnten Peak, da die Fensterfunktion den Peak verschmiert.

Abbildung 3.10 zeigt ebenfalls die spektralen Dichten der Bilder aus Abbildung 3.8, jedoch wurde hier bei der Berechnung der Spektren auf eine Fensterfunktion verzichtet. Der ,,leakage-effect`` ist deutlich sichtbar. Das ,,Lecken`` der Hauptspektrallinie führt zu einer breiteren Verschmierung der Peaks im Spektrum als bei Verwendung einer passenden Fensterfunktion. Selbst bei idealen periodischen Strukturen führt dies dazu, daß die Frequenzauflösung wesentlich schlechter wird. Bei ,,realen`` Bildern von Objekten kommt dieser Effekt noch wesentlich stärker zum Tragen, da in den seltensten Fällen ideale periodische Strukturen vorhanden sind. Für die Bildfolgenanalyse im Fourierraum ist es daher unerläßlich, eine geeignete Fensterfunktion zu verwenden.

Sollen Bilder bearbeitet werden, muß die entsprechende Fensterfunktion zweidimensional sein. Die Berechnung des Hanning-Fensters in zwei Dimensionen erfolgt mit:

Die expliziten Multiplikation des Fensters mit einem Bild geschieht punktweise, d.h. der Grauwert eines Pixels des Bildes wird mit dem Wert des entsprechenden Pixels der Fensterfunktion multipliziert.

Bei der Bildfolgenanalyse in drei Dimensionen, meist mit einer Zeit- und zwei Ortskoordinaten, erhöht sich der Aufwand entsprechend, denn es muß ebenso in der zeitlichen Richtung (aus der gleichen Motivation heraus wie bei den Ortskoordinaten) mit einer entsprechenden Fensterfunktion multipliziert werden, bevor die Bildfolge in den -Raum transformiert wird. Dazu kann ein eindimensionales Fenster benutzt werden (Gleichungen 3.25-3.27). Die Reihenfolge der Multiplikationen (x,y,t-Richtung) ist unerheblich, da die Multiplikation kommutativ ist.