Die spektrale Dichte

Als spektrale Dichte bezeichnet man im allgemeinen das reelle Betragsquadrat der Fouriertransformierten von :

Bei allen linearen Systemen ist das Amplitudenquadrat eines Signals (mechanische Welle, elekromagnetische Welle usw.) proportional zu dessen Energie. Aus diesem Grund wird das Betragsquadrat der Spektralfunktion auch als Powerspektrum bezeichnet. Häufig wird dabei die Abkürzung PSD verwendet. Mit Hilfe des PSD kann die Energieverteilung eines Systems bestimmt werden, sofern das vorliegende Signal (Bilddaten) proportional zu der Amplitude des physikalischen Systems ist. Ebenso bietet die spektrale Dichte den Vorteil, daß sie reell ist und sich einfacher und somit verständlicher darstellen läßt als eine komplexe Größe, wie z.B. die Fouriertransformierte eines reellen Bildes.

Die Interpretation eines Powerspektrums ist anschaulich. Hat man in einem Powerspektrum eine Häufung um einen bestimmten Punkt, so geben jeweils die Koordinaten des Punkts die Größe der Wellenzahlen in der entsprechenden Koordinatenrichtung an. Die Summe der Häufung macht eine Aussage darüber, wie stark die Wellenzahlen im Orginalbild ausgeprägt sind, bzw. wie groß deren Anteil an der Gesamtenergie des Systems ist.

Die Darstellung im PSD eignet sich besonders gut, um periodische Strukturen oder Rauschen aus einem Signal zu isolieren. Das Powerspektrum einer reellen Funktion ist hermitesch [Bracewell, 1965], da ihre Fouriertransformierte hermitesch ist (siehe Abschnitt 3.9). Für die praktische Anwendung bedeutet dies, daß das Powerspektrum einer solchen Funktion vollständig durch den Halbraum beschrieben wird, und somit nur den halben Speicherplatz des Orginalbildes benötigt.

Für eine reelle 256256-Matrix ergibt sich für die Fouriertransformierte, sowie für das Powerspektrum eine Matrix der Größe 256128, wobei die Einträge in der Fouriertransformierten komplex sind. Die Berechnung der Spektren erfolgte mit der Bildverarbeitungssoftware heurisko, bei der aus Gründen der Programmierung das Spektrum wie in Abbildung 3.11 organisiert. Die ersten 128 Zeilen enthalten die positiven Wellenzahlkomponenten in y-Richtung, danach folgen die negativen Wellenzahlen. In x-Richtung sind nur die positiven Wellenzahlen dargestellt.

Das Spektrum besteht aus zwei Teilen, wobei der Ursprung für negative Wellenzahlkomponenten im Matrixelement und für positive Komponenten im Matrixelement zu finden ist. Das vollständige (hermitesche) Spektrum erhält man durch Punktspiegelung an (siehe Abbildung 3.11). Zusätzlich ist das vollständige Spektrum so zentriert, daß der Ursprung in der Bildmitte liegt. Die Spalte 0 stellt jedoch eine Ausnahme dar, denn nach der Definition (Gleichung 3.43) einer hermiteschen Funktion müßte Spalte 0 das Konjungiert-komplexe von sich selber sein (). Deswegen wird Spalte 0 nicht am Symmetriezentrum gespiegelt, und in dem vollständigen Spektrum bekommt die Spalte den Wert Null zugeordnet.

Die Verbindung der Betragsquadrate zwischen Orts-Zeitraum und Orts-Frequenzraum im Diskreten ist durch das Parsevalsche Theorem gegeben:

Das Parsevalsche Theorem besagt die Erhaltung der Norm unter der diskreten Fouriertransformation. Physikalisch betrachtet gibt Gleichung 3.30 an, daß die Berechnung der Energie in beiden Räumen äquivalent ist.