Eigenschaften der Fouriertransformation

In diesem Abschnitt sind die wichtigsten Eigenschaften der Fouriertransformation zusammengefaßt. Die Eigenschaften gelten sowohl für die diskrete als auch für die kontinuierliche Fouriertransformation in n-Dimensionen. Eine umfassende Darstellung befindet sich bei [Bracewell, 1965].

Die Fouriertransformation ist eine lineare Transformation, es gilt das Additionstheorem:

Im Diskreten gilt für zwei Folgen der Länge N und mit den Faktoren :

wobei bzw. die diskrete Fouriertransformation der jeweiligen Folge ist. Wenn die Längen beider Folgen nicht gleich groß sind, wird das maximale N benutzt. Fehlende Werte der kleineren Folge werden mit Nullen aufgefüllt, das im Englischen als ,,zero-padding`` bezeichnet wird.

Die Norm, d.h. das Integral über das Betragsquadrat der Funktion oder die Summe über die Betragsquadrate der Folge bleibt unter der Transformation erhalten:

Im Diskreten besagt das Parsevallsche Theorem die Normerhaltung:

Für die Symmetrieeigenschaften der Fouriertransformation ist der Kern der Transformation verantwortlich. Nach der Eulerschen Formel läßt sich der Kern auch schreiben als:

Betrachtet man die Fouriertransformation einer reellen Funktion, so ergibt sich als Transformierte eine komplexe Funktion mit geradem Realteil (Cosinus) und ungeradem Imaginärteil (Sinus). Diese Eigenschaft wird als hermitesch und im umgekehrten Falle als antihermitesch bezeichnet:

Diese Symmetrie spiegelt die physikalische Eigenschaft wider, daß im Fourierraum nicht unterschieden werden kann, ob eine Welle vorwärts oder rückwärts läuft. Dies gilt, wenn die Ortskoordinaten transformiert werden. Hat man zusätzlich eine zeitliche Information, kann aus dieser die Geschwindigkeit und somit die Ausbreitungsrichtung bestimmt werden (siehe Abschnitt 3.5).

Eine Faltung der Funktion g(x) mit der Funktion h(x) ist definiert als:

Eine Faltungsoperation im Ortsraum ist eine Multiplikation im Fourierraum. Umgekehrt gilt, daß eine Multiplikation im Ortsraum eine Faltungsoperation im Fourierraum ist:

Eine Verschiebung einer Funktion im Ortsraum bewirkt eine Phasenverschiebung der Fouriertransformierten. Umgekehrt liefert eine Phasenverschiebung im Ortsraum eine Verschiebung der Funktion im Fourierraum:

Eine partielle Ableitung einer Funktion im Ortsraum entspricht einer komplexen Multiplikation mit der Wellenzahl im Fourierraum. Das gleiche gilt auch umgekehrt:

Daraus ergibt sich für den -Operator im Fourierraum:
 

Aus der Definition (3.7) für die diskrete Fouriertransformation ergibt sich durch Einsetzen von u=0:

Der Eintrag in der Transformierten repräsentiert den Mittelwert der Einträge des Vektors im Ortsraum. Daher ist der Imaginärteil von eines reellen Objektes immer Null. Analoges gilt auch in höheren Dimensionen. Auf den Eintrag der Matrix M im Fourierraum, dessen Indizes alle Null sind, wird immer der Mittelwert der Einträge entsprechenden Matrix abgebildet.