Fit der Abklingkurven

Das eigentliche Ziel der Simulation war es, anhand der theoretischen Abklingkurven, den tatsächlichen Verlauf der gemessenen Kurven vorherzusagen und daraus die Einstellzeit, bzw. mittlere Lebensdauer zu ermitteln. Dazu müssen die Abklingkurven parametrisiert werden.

Der Fall des eindimensionalen Transportes von Wärme in die Tiefe wurde von [Reinelt, 94] untersucht. Dabei wurde mit dem Laser die Wasseroberfläche in Form einer Linie senkrecht zur Windrichtung erhitzt. Diese Wärmeverteilung driftet mit der Oberflächenströmung und kühlt dabei ab, da die Wärme in die Tiefe transportiert wird. Bei Kenntnis der Oberflächengeschwindigkeit kann die Richtung der Bewegung in eine Zeitachse umgerechnet werden. Insgesamt ergibt sich, bei konstanter Erhitzung, ein abklingender Wärmeschleier, dessen Abklingzeit die Lebensdauer des Surface Renewal Modelles repräsentiert. Als Beziehung für die dabei zu erwartende Abklingkurve ergab sich die analytische Form ([Reinelt, 94]):
 
Dabei wurde die Ausgangsverteilung der Wärme nach Verlassen des Laserbereiches als gau\3förmiges Tiefenprofil der Form

angenähert. Diese Form entspricht den simulierten Tiefenprofilen (Abbildung 5.10-5.13) in guter Näherung.

Gleichung (5.67) repräsentiert eine Gau\3kurve, die sich im Laufe der Zeit verbreitert, während das Maximum als Funktion von abfällt. Gleichzeitig nimmt die Gesamttemperatur durch den Erneuerungseffekt proportional zu ab. Dieselbe analytische Form wird von [Clark et al., 95] zur Beschreibung der Verteilung eines Gastracers in einem flie\3enden Gewässer angegeben, wobei ein Teil des Gases durch Austausch mit der Atmosphäre verschwindet.

Unter der Voraussetzung, da\3 die Kamera nur die Temperatur an der Wasseroberfläche mit verschwindender Eindringtiefe sieht, ergibt sich aus (5.67) die zu erwartende Abklingkurve der Oberflächentemperatur für den eindimensionalen Transport:
 

Es ist zu erwarten, da\3 sich auch die Abklingkurven der dreidimensionalen Simulation von isolierten Laser-Flecken näherungsweise durch diese Funktion fitten lassen. Dies gilt aus folgenden Gründen:

1.

Durch das Aufsummieren der einzelnen Bilder trägt die horizontale Diffusion nicht mehr direkt zum Abklingvorgang bei. Da sich die Wärme nur ausbreitet, aber durch Diffusion nicht verschwindet, ist sie über die horizontale Bildausdehnung verteilt. Der Beitrag der Erneuerungseffekte wurde als ortsunabhängig angenommen. Insgesamt entspricht die Berechnung der Abklingkurven einem eindimensionalen Transport in die Tiefe.

2.

Die endliche Eindringtiefe der Kamera sollte sich nicht sehr stark auf die Form der Abklingkurven auswirken. Aufgrund der Linearität der Transportgleichung ist die relative Änderung der Temperatur in allen Tiefen gleich. Die unterschiedliche Temperaturverteilung in der Tiefe summiert sich zu einer mittleren Temperatur (Abschnitt 3.2.4), ändert jedoch nichts an der zeitlichen Änderung der Temperatur, d. h. an der Form der Abklingkurven.

3.

Die Abklingkurven bei eingeschaltetem Oberflächenflu\3 sollten die gleiche Form haben, wie Kurven ohne Oberflächenflu\3. Aufgrund der Linearität der Transportgleichung skaliert der diffusive Anteil der Abklingkurve mit dem Oberflächenflu\3.

Abbildung 5.18 zeigt einen Fit durch die Abklingkurven für eine Lebensdauer s, mit und ohne Oberflächenflu\3. In beiden Fällen lä\3t sich die Funktion der Form (5.69) perfekt anfitten. Die Lebensdauer wird dabei durch den Fit nahezu exakt wiedergegeben. Es ergibt sich der Wert s (ohne Oberflächenflu\3) und s (mit Oberflächenflu\3).

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Abbildung: Abklingkurve des Laserfleckes für eine Lebensdauer von s, mit und ohne Oberflächenflu\3. Die durchgezogene Kurve zeigt einen Fit mit der Funktion (5.69).

Bei längeren Lebensdauern macht sich jedoch der zu kleine Ausschnitt der gesamten Kurve bemerkbar. Je grö\3er die Lebensdauer wird, desto schlechter geben die Fitkurven die Lebensdauer wieder.

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Abbildung: Abklingkurve des Laserfleckes für eine Lebensdauer von s, mit und ohne Oberflächenflu\3. Die durchgezogene Kurve zeigt einen Fit mit der Funktion (5.69).

Für s divergiert der Fit für die Abklingkurve mit Oberflächenflu\3 und es lä\3t sich keine Aussage über die Lebensdauer machen. Abbildung 5.19 zeigt die Fits durch zwei Abklingkurven für s, mit und ohne Oberflächenflu\3. Während sich bei ausgeschaltetem Oberflächenflu\3 noch durch genaue Kenntnis der Lebensdauer eine Fitkurve erzwingen lä\3t, ist dies bei eingeschaltetem Oberflächenflu\3 nicht mehr möglich. Dieses Ergebnis spiegelt die Tatsache wieder, da\3 sich alle Abklingkurven für kurze Zeiten ähneln. Erst nach einer Zeit, die der Lebensdauer des Erneuerungseffektes entspricht, weichen die Kurven signifikant von einander ab.

Dieses Ergebnis ist wichtig für die Interpretation der Me\3daten. Es hatte sich bereits vor der Durchführung der Simulation gezeigt, da\3 die Fits durch die Laserabklingkurven nur schwer reproduzierbare Ergebnisse liefern, wobei diese mit abnehmender Windgeschwindigkeit schlechter werden. Dies war der Grund für die Simulation. Es galt zu verstehen, ob die Form der Fitkurve falsch gewählt wurde oder die Me\3daten selbst keine exakte Berechnung zulassen. Insgesamt zeigt sich nun, da\3 sich die Me\3daten der Laserabklingkurven perfekt mit (5.69) fitten lassen sollten, wenn die Flecken über eine ausreichend gro\3e Zeitdauer verfolgt werden können. Als Grenzwert für die Mindestlänge der Abklingkurve ergibt die Simulation den Wert
 
als Stabilitätskriterium, wobei die Fits bei kleineren Zeiten divergieren. Ein optimaler Wert für die Länge der Abklingkurven liegt bei etwa .