Emission teilweise transparenter Körper

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Abbildung: Emission und Absorption von Strahlung in teilweise transparenten Medien. Der Grauwert der Pfeile symbolisiert die Abnahme bzw. Zunahme der Strahlung beim Durchqueren des Mediums.

Für Körper endlicher Transmissivität sind die Absorption, die Emission und die Transmission von Strahlung keine reinen Oberflächeneigenschaften mehr. Der auftreffende Strahlungsflu\3 wird zu einem Bruchteil direkt an der Oberfläche reflektiert. Der Rest dringt zunächst in den Körper ein und wird auf seinem Weg durch das Objekt zunehmend absorbiert. Gleichzeitig setzt sich der abgestrahlte Flu\3 aus Beiträgen verschiedener Tiefenschichten zusammen (Abb. 2.9). Die Absorption und die Transmissivität beschreiben somit nur den Nettoeffekt dessen, was insgesamt absorbiert wird, bzw. beim Verlassen des Körpers noch vom eingedrungenen Flu\3 übrig ist. Um zu berechnen, wie sich die absorbierte Strahlung auf unterschiedliche Tiefen verteilt und welche Leistung in einer bestimmten Tiefe durch Emission verloren geht, ist eine zusätzliche Information nötig: die Eindringtiefe der Strahlung.

Zum Berechnen der Abklingkurve der eingedrungenen Strahlung wird das Medium in Schichten der Dicke dz entlang des optischen Pfades zerlegt (Abb. 2.9). Experimentell zeigt sich, da\3 die pro Schicht absorbierte Strahlung proportional zur auftreffenden Strahlung und zur Schichtdicke ist, d. h.:
 
Die Proportionalitätskonstante wird als Absorptionskoeffizient des Mediums bezeichnet. Er hat die Einheit einer reziproken Länge. Der Kehrwert wird als Eindringtiefe der Strahlung bezeichnet. Der Absorptionskoeffizient ist wellenlängen- und temperaturabhängig und mu\3 experimentell ermittelt werden.

Als Lösung der Differentialgleichung (2.33) erhält man die Abklingkurve des Strahlungsflusses
 
Der Strahlungsflu\3, der bei z = 0 in das Medium eindringt, wird mit bezeichnet. Für eine Schicht der Dicke z ist der Transmissionsfaktor gegeben durch:

Nach dem Durchqueren eines Körpers der Dicke z verlä\3t somit der Bruchteil , der ursprünglich eingedrungenen Strahlung den Körper, der Rest wurde auf dem Weg absorbiert.

Da zwischen benachbarten Schichten innerhalb desselben Mediums keine Reflexion stattfindet, ergibt sich damit die Emissivität einer Schicht der Dicke z zu
 
Diese beiden Grö\3en beschreiben wiederum den Nettoeffekt der gesamten Schicht von der Oberfläche bis zur Tiefe z. Eine unendlich dünne Schicht (z = 0) ist somit vollständig transparent und eine unendlich dicke Schicht absorbiert alle Strahlung. Den Beitrag der einzelnen Schichten in verschiedenen Tiefen zur Emission erhält man aus (2.36) durch differenzieren:

und damit die differentielle Emissivität einer Schicht der Dicke dz in einer Tiefe z:
 

Diese Grö\3e wird wichtig für die Berechnung der Gesamtstrahlungsemission eines teilweise transparenten Körpers in die gesamte Hemisphäre (Kapitel 2.5.2).

Eine Schicht der Dicke der Eindringtiefe direkt an der Oberfläche des Mediums (z = 0) hätte somit die differentielle Emissivität und damit die Transmissivität . Die Eindringtiefe stellt daher anschaulich die Dicke dar, aus der effektiv der gesamte Strahlungsflu\3 kommt, bzw. in der die gesamte eindringende Strahlung deponiert wird.

Die differentielle Strahlstärke , die von einer Schicht der Temperatur T(z) in der Tiefe z des Mediums senkrecht zur Oberfläche emittiert wird, ergibt sich mit (2.38) zu

wobei die Strahlstärke eines schwarzen Körpers der Temperatur T(z) darstellt. Die differentiellen Strahlstärken der verschiedenen Tiefenschichten summieren sich zur Gesamtstrahlstärke der Strahlung, die die Oberfläche des Körpers verlä\3t, also
 
Die Dicke des Körpers entlang des optischen Pfades wird mit bezeichnet. Für geht der Exponentialfaktor weit vor der oberen Integrationsgrenze gegen Null und die Integration kann von 0 bis durchgeführt werden.

Mit diesem Ergebnis kann nun berechnet werden, welche Strahlung bei einer gegebenen Temperaturverteilung innerhalb des Mediums die Oberfläche verlä\3t. Dies wird wichtig, wenn für die Wasseroberfläche die Abstrahlung und das Kamerabild berechnet werden sollen. Für zwei Spezialfälle lä\3t sich die Integration (2.40) allgemein durchführen:

a)

Konstante Temperatur innerhalb des Mediums. Mit und ergibt sich aus (2.40)

Für ein unendlich ausgedehntes Medium homogener Temperatur ergibt sich als Nettostrahlstärke die eines schwarzen Strahlers der Temperatur . Ein Strahlungsthermometer sieht damit die Oberflächentemperatur. Wenn der Körper nicht viel dicker ist als die Eindringtiefe , so ergibt sich noch ein Anteil der transmittierten Strahlung. Die Gesamtemissivität ist dann kleiner als 1, aber man mi\3t nach Abzug der Strahlung, die von der Umgebung durch den Körper transmittiert wurde, immer noch die Temperatur eines grauen Körpers.

b)

Temperaturgradient innerhalb des Mediums. Sei die Temperatur in Abhängigkeit von der Tiefe z so verteilt, da\3 sich ein linearer Gradient der Strahlstärke I ergibt (der Temperaturgradient ist somit nicht linear; bei kleinen Gradienten ist die Abweichung von einem linearen Temperaturgradienten jedoch gering). Damit wird zu , wobei die Strahlstärke eines schwarzen Strahlers der Temperatur an der Oberfläche darstellt. Aus (2.40) ergibt sich damit:

Ein Strahlungsthermometer sieht also nicht mehr die Oberflächentemperatur, sondern eine erhöhte bzw. erniedrigte Temperatur für steigende bzw. fallende Temperaturgradienten. Im Falle eines linearen Strahlstärkegradienten entspricht die abgestrahlte Strahlstärke der eines schwarzen Strahlers in der Tiefe, die genau der Eindringtiefe der Strahlung entspricht. Man kann daher grob sagen, da\3 man mit einem Detektor, der bei einer bestimmten Wellenlänge empfindlich ist, die Temperatur in der Tiefe mi\3t.

Die Ergebnisse dieses Abschnitts gelten nur für die Strahlung, die entlang des optischen Pfades senkrecht zur Oberfläche abgestrahlt wird, d. h. für die Strahlstärke I und die Strahldichte L senkrecht zur Oberfläche (). Interessiert man sich für die spezifische Ausstrahlung R in die gesamte Hemisphäre oberhalb der Oberfläche, gilt nicht mehr der einfache Zusammenhang (2.19). Auf dieses Problem wird in (Kapitel 2.5.2) weiter eingegangen.