Bei der Herleitung der Strahlungsrandbedingung für nichttransparente Oberflächen wurde davon ausgegangen, da\3 die unter beliebigen Winkeln emittierte Strahlung ohne Verluste die gegenüberliegende Oberfläche erreicht. Wenn sich zwischen den beiden Körpern ein absorbierendes Medium befindet, wird die Strahlung jedoch beim Transport absorbiert, umso mehr, je grö\3er die Weglänge zwischen Emissions- und Absorptionspunkt ist. Die Strahlstärke wird damit richtungsabhängig.
Ein Anwendungsfall, für den dies wichtig wird, ist die Emission
von Strahlung an der freien Ozeanoberfläche. In klaren Nächten
kann die scheinbare Temperatur des Himmels bis zu 
C
unter der Temperatur der Ozeanoberfläche liegen
([McAllister, McLeish, 69]). Dies
führt zu einer Auskühlung der Meeresoberfläche, die mit der
Infrarotkamera beobachtet werden kann. Der Nachthimmel verhält
sich dabei wie ein unendlich ausgedehnter schwarzer Strahler.
Die Meeresoberfläche selbst kann in guter Näherung als
grauer Strahler mit 
aufgefa\3t werden
(siehe Kapitel 2.6). Interessiert man sich nur für den
Nettoflu\3, so kann direkt Gleichung (2.46)
verwendet werden. Zur Berechnung der Temperaturverteilung
unterhalb
der Wasseroberfläche (innerhalb der oberen 1-2mm der
Wasseroberfläche) mu\3 jedoch der Beitrag der einzelnen
Wasserelemente in Abhängigkeit von der Tiefe berücksichtigt
werden. Auf dieser mikroskopischen Skala wird daher von
Volumenemission gesprochen.
wabsorb
Abbildung: Strahlungsaustausch zwischen einer Oberfläche und
einem teilweise transparenten Medium (z. B. Wasseroberfläche).
Abbildung 2.11 zeigt die prinzipielle Anordnung zur Abschätzung der Volumenemission. Da die Absorption der Luft sehr gering ist im Vergleich zur Absorption innerhalb des Wassers und au\3erdem die Temperatur der Luft schon in der scheinbaren Temperatur des Himmels berücksichtigt ist, kann der Himmel als Oberfläche eines schwarzen Strahlers direkt an der Wasseroberfläche angenommen werden. Er stellt somit die obere Randbedingung dar, und alle Strahlung, die vom Wasser emittiert wird und die Wasseroberfläche erreicht, wird dort absorbiert.
Weiterhin kann davon ausgegangen werden, da\3 der Temperaturunterschied innerhalb des Wasserkörpers sehr klein ist im Vergleich zur Temperaturdifferenz zwischen Wasser und Himmel. Damit wird der Strahlungsaustausch innerhalb des Wassers vernachlässigbar, im Vergleich zu konvektivem und diffusivem Transport. Unter diesen Bedingungen ist der Strahlungsaustausch zwischen Himmel und einer beliebigen Wasserschicht der Austausch zwischen zwei parallelen Platten, absorbiert durch die dazwischenliegende Wasserschicht.
Im folgenden wird die Strahlung der Wellenlänge
, die von einem
einzelnen Flächenelement dS in der Tiefe z unterhalb der
Wasseroberfläche emittiert wird betrachtet. Das hochgestellte an
den verschiedenen strahlungsphysikalischen Grö\3en bezeichnet
im folgenden abkürzend die spektralen Grö\3en. Die
differentielle
Dicke der Schicht ist dabei dz (Abb. 2.11). Für den
Flu\3 
, den dS unter dem
Winkel
gegen die Normale in den Raumwinkel 
emittiert, gilt
nach dem Lambertschen Cosinus-Gesetz
(2.18):
Dabei ist 
die differentielle Emissivität
des Wasserelementes dS (2.38) für Strahlung der
Wellenlänge .
Unter verschiedenen Winkeln ist die Weglänge l der Strahlung
durch die darüberliegende Wasserschicht unterschiedlich lang.
Aus Abbildung 2.11 ergibt sich:
Die Weglänge l der Strahlung bis zur Wasseroberfläche
ersetzt für beliebige Winkel die Tiefe
z in Gleichung (2.38) und man erhält
:
Aus (2.52) und (2.54) folgt:
Analog zu (2.19) erhält man für ein Wasserelement
dS in der Tiefe z die spezifische
Ausstrahlung 
in die Hemisphäre oberhalb der Wasseroberfläche
durch Integration von (2.55)
über
die gesamte Hemisphäre. Es mu\3 betont werden,
da\3 es sich dabei nicht um die spezifische Ausstrahlung in
die umgebende Wasserschicht handelt, sondern um den Teil,
der die Wasseroberfläche erreicht. Mit
ergibt sich dieses Integral zu
Die z-Abhängigkeit reduziert sich daher auf das Integral
, das von der dimensionslosen Einheit (
)
abhängt. Für z = 0 fällt der Exponentialfaktor weg und
es ergibt sich
. Für gro\3e z (
) geht
der Exponentialfaktor gegen Null und damit auch .
Der allgemeine Verlauf lä\3t sich analytisch nicht lösen.
Nach numerischer Integration lä\3t sich in
guter
Näherung mit einer Exponentialfunktion fitten. Es zeigt sich:
numfit
Abbildung: Funktion im Vergleich zur gefitteten
Lösung.
Abbildung 2.12 zeigt die numerische Lösung, zusammen
mit der gefitteten Funktion im Vergleich zu
(
). Wird (2.58)
in (2.57) eingesetzt, so ergibt sich
mit der tiefenabhängigen, differentiellen Emissivität
Ein Vergleich von (2.59) mit (2.19) zeigt,
da\3 dies anschaulich der
Bruchteil der Strahlung ist, die ein Wasserelement mit dem
Volumen 
in der Tiefe z in den gesamten Halbraum
oberhalb der Wasseroberfläche abstrahlt, im Vergleich
zur spezifischen Ausstrahlung eines Oberflächenelementes
dS eines schwarzen Strahlers.
Im Vergleich zur Absorption der Strahlstärke entlang der optischen Achse senkrecht zur Oberfläche, nimmt die spezifische Ausstrahlung in die gesamte Hemisphäre schneller mit der Tiefe ab. Für die Volumenemission ist der effektive Absorptionskoeffizient daher ca. 1.5 mal so gro\3 wie der für die lineare Absorption.
lambdepth
Abbildung: Emissionsverhalten tieferer Wasserschichten. Mit
zunehmender Tiefe wird die Abstrahlcharakteristik tieferer
Schichten zunehmend Nicht-Lambertsch. Der effektive
Strahlungswinkel wird mehr und mehr eingeschränkt und
die Abstrahlung senkrecht zur Oberfläche bevorzugt.
Abbildung 2.13 illustriert dieses Ergebnis graphisch. Ein Wasserelement direkt an der Oberfläche kann frei in alle Richtungen emittieren. Durch die teilweise Transparenz kann es nur mit der differentiellen Emissivität strahlen, dies aber wie ein Lambertscher Strahler. Mit zunehmender Tiefe wird der effektive Öffnungswinkel der Strahlung mehr und mehr eingeschränkt. Ein Wasserelement sieht somit effektiv nur einen Teil des Himmels und strahlt daher auch nur einen Bruchteil dessen ab, was es an der Oberfläche in die gesamte Hemisphäre strahlen würde. Die Abstrahlungscharakteristik ist somit nicht mehr Lambertsch, sondern wird zu immer schmäleren Ellipsen deformiert.
Aus geometrischen Überlegungen (Abb. 2.11) ergibt sich analog
zu Kapitel 2.5.1, da\3 der gesamte von
dS abgestrahlte Flu\3 dem Betrag nach von einem direkt
darüber liegenden Oberflächenelement des Himmels absorbiert wird.
Dieses emittiert seinerseits die Strahlungsdichte 
in den gesamten Halbraum
des unter ihm liegenden Wasserkörpers. Dort verteilt sich die
Strahlung im Volumen, wobei das Wasserelement dS den
Bruchteil 
davon absorbiert:
Die spezifische Ausstrahlung von dS ist damit insgesamt:
wobei 
die spektrale spezifische Ausstrahlung
eines schwarzen Strahlers der Temperatur T ist. Für die reale
Wasseroberfläche mu\3 dieser Wert noch mit der Emissivität
der Wasseroberfläche (siehe Kapitel 2.6)
multipliziert werden.
Im Verlauf der Herleitung von (2.63) wurde der
Absorptionkoeffizient 
als Konstante behandelt. In
Wirklichkeit ist dieser stark wellenlängenabhängig.
Die Argumentation wurde aber für beliebige Wellenlängen
der Strahlung durchgeführt (hochgestelltes ).
Gleichung (2.63) ist daher schon die spektrale
Form und mu\3 nur noch umgeschrieben werden zu
Den gesamten Strahlungsverlust eines Wasserelements dS
in der Tiefe z
erhält man durch Integration von (2.51) über alle
Wellenlängen:
