Modellierung des laminaren Transportterms

Für das laminare Geschwindigkeitsfeld wird eine eindimensionale Scherströmung an der Wasseroberfläche angesetzt:
 
Das gemittelte Geschwindigkeitsfeld besteht nur aus einer Komponente in horizontaler Richtung, die linear mit der Tiefe abnimmt. Diese Richtung stimmt mit der Windrichtung überein und wird willkürlich mit der x-Achse des verwendeten Koordinatensystems gleichgesetzt.

Das vereinfachte Geschwindigkeitsprofil nach (4.10) ist innerhalb der thermischen Grenzschicht mit einer Dicke von 200m bis 1mm näherungsweise gültig. Ausgehend von der Driftgeschwindigkeit der obersten Wasserschicht, nimmt die Geschwindigkeit zunächst linear mit der Tiefe ab, flacht dann jedoch ab und geht in das bekannte logarithmische Geschwindigkeitsprofil über. Für gro\3e Tiefen geht gegen Null. Der Übergang vom linearen in das logarithmische Profil erfolgt stetig. Der lineare Verlauf lä\3t sich jedoch näherungsweise bis in eine Tiefe, die der Dicke der viskosen Grenzschicht entspricht, fortsetzten. Diese beträgt bei Windwellen etwa 1 bis 2mm ([Jähne, 80], [Dieter et al., 95], [Hering, 96]). Die Eindringtiefe für Strahlung, die von der Kamera detektiert werden kann (3-5m), liegt zwischen 1 und 100m. Innerhalb dieser - für die Kamera sichtbare - Wassertiefe ist das lineare Profil daher eine gute Näherung der physikalischen Realität.

Mit (4.10) ergibt sich der laminare Konvektionsterm in Gleichung (4.9) zu:
 

Für eine horizontal homogene Temperaturverteilung wird dieser Term Null. Da der Laser während der Messung die Wasseroberfläche nur lokal aufheizt, ist diese Bedingung nicht erfüllt und der Beitrag der laminaren Konvektion (4.11) mu\3 bei der Simulation der Laser-Anklingkurven (Kapitel 5) berücksichtigt werden.

Zur Durchführung der Simulation der Vorgänge in der Grenzschicht (Kapitel 5) mu\3 der Geschwindigkeitsgradient der Grenzschicht für unterschiedliche Windgeschwindigkeiten bekannt sein. Dieser ist direkt proportional zur viskosen Schubspannung im Wasser:

Dabei bezeichnet die molekulare Viskosität von Wasser. Bei einer Temperatur von 20C hat sie den Wert Kgms. Mit der Definition der wasserseitigen Schubspannungsgeschwindigkeit ([Jähne, 80])
 
ergibt sich für den Geschwindigkeitsgradienten:
 
Die Konstante wird als dynamische Zähigkeit von Wasser bezeichnet. Mit der Dichte von Wasser nimmt sie bei 20C den Wert cms an. Sie entspricht der Diffusionskonstanten für Impuls senkrecht zur Strömungsrichtung (4.5). Die Schubspannungsgeschwindigkeit beschreibt den vom Wind induzierten Impulsflu\3 in den Wasserkörper.

Der Geschwindigkeitsgradient an der Wasseroberfläche ergibt sich demnach direkt aus der Schubspannungsgeschwindigkeit in Wasser. Diese mu\3 experimentell bestimmt werden. Aus Messungen verschiedener Autoren ergaben sich, sowohl für die Windkanäle in Delft und Heidelberg, als auch für den Ozean, heuristische Formeln, nach denen für verschiedene Windgeschwindigkeiten abgeschätzt werden kann. Diese sind im folgenden aufgelistet:

1.

Windkanal Heidelberg, Institut für Umweltphysik ([Reinelt, 94], [Kandlbinder, 94]):

Die wasserseitige Schubspannungsgeschwindigkeit ergibt sich zu
 
Dabei gilt für die Einheiten: = 1cm/s und = 1m/s.

2.

Windkanal Delft, Delft Hydraulics ([Reinelt, 94]):

Die luftseitige Schubspannungsgeschwindigkeit ergibt sich zu
 
Durch das Verhältnis der Dichten von Luft Kgm und Wasser Kgm lä\3t sie sich in die wasserseitige Schubspannungsgeschwindigkeit umrechnen:

3.

Ozean ([Jähne, 80]):

Der Impulseintrag durch den Wind, über Rauhigkeiten an der Wasseroberfläche, führt zu einem Anstieg der Schubspannungsgeschwindigkeit. Der Dragkoeffizient verknüpft die Windgeschwindigkeit in 10m Höhe mit der luftseitigen Schubspannungsgeschwindigkeit :

Für den Ozean gibt [Coantic, 78] eine Näherungsformel für an:

Die luftseitige Schubspannungsgeschwindigkeit ergibt sich damit zu
 
und für die wasserseitige Schubspannungsgeschwindigkeit erhält man

Mit diesen Näherungslösungen für die Schubspannungsgeschwindigkeit lä\3t sich der Geschwindigkeitsgradient der Scherströmung an der Wasseroberfläche nach Gleichung (4.14) abschätzen. Tabelle A.4 zeigt eine Gegenüberstellung der daraus berechneten Schubspannungsgeschwindigkeiten und Geschwindigkeitsgradienten für die beiden Windkanäle und den Ozean. Beim Vergleich der Werte mu\3 berücksichtigt werden, da\3 die Windgeschwindigkeiten in unterschiedlichen Höhen über der Wasseroberfläche gemessen wurden. Für den Ozean stellt die Windgeschwindigkeit in 10m Höhe einen allgemein üblichen Referenzwert dar. Die Anemometer im Heidelberger und Delfter Windkanal befinden sich in ca. 30cm und 150cm Höhe über der Wasseroberfläche.

Die Driftgeschwindigkeiten , die zur Berechnung des laminaren Konvektionsterms (4.11) der Transportgleichung benötigt werden, müssen experimentell bestimmt werden. Für den Windkanal der Delft Hydraulics und für den Heidelberger Windkanal wurden sie von [Reinelt, 94] gemessen. Für den Ozean fehlen zuverlässige Daten. Daher werden zur Simulation die Driftgeschwindigkeiten des Delfter Kanals verwendet (Tabelle A.3). Die Werte des Heidelberger Kanals lassen sich nicht mit dem Ozean vergleichen, da im zirkularen Kanal der gesamte Wasserkörper in Rotation versetzt wird.