Näherungslösungen der Planckkurve

Für gro\3e und kleine Werte von lä\3t sich die Planck'sche Strahlungskurve auf zwei Näherungslösungen vereinfachen, die historisch schon als Teilnäherungen bekannt waren, bevor sie sich als Grenzfälle des Planck-Gesetzes ergaben.

• Wenn das Produkt ausreichend klein ist, gilt und (2.9) vereinfacht sich zu
   
  Diese Beziehung ist als Wiensches Strahlungsgesetz bekannt. Es beschreibt die Existenz eines Maximums der Strahlungsleistung, wird aber für sehr gro\3e Wellenlängen völlig falsch.

  Der Teilverlauf der Planck-Kurve, für den bei der Temperatur T die Gleichung (2.13) näherungsweise gilt, wird als Wienscher Ast der Strahlungskurve bezeichnet.

• Für gro\3e Werte von erhält man eine Näherungslösung, indem der Exponentialfaktor in (2.9) in einer Taylorreihe entwickelt wird:
  
  Werden alle Terme quadratischer und höherer Ordnung vernachlässigt, dann erhält man das Rayleigh-Jeans Gesetz
   
  Dieses Gesetz beschreibt gut den Abfall der Strahlungsleistung für gro\3e Wellenlängen, versagt aber bei kleinen Wellenlängen, da die spezifische Ausstrahlung unendlich gro\3 wird (UV-Katastrophe).

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Abbildung: Abweichung der beiden Näherungslösungen (Wien und Rayleigh-Jeans) von der Planckkurve. Untere Ordinate: Wellenlänge für eine Temperatur T = 300K. Obere Ordinate: als universelle Konstante.

Abbildung 2.4 zeigt die Abweichungen der beiden Näherungslösungen als Differenz zur Planckschen Strahlungskurve. Als Ordinate wurde sowohl das Produkt als auch die Wellenlänge für die Temperatur C verwendet. Erkennbar ist, da\3 bei dieser Temperatur das Wellenlängenintervall mit guter Näherung im Wienschen Ast der Strahlungskurve liegt. Da die verwendete Infrarotkamera nur in diesem Wellenlängenbereich empfindlich ist, kann zur Berechnung der Kameraintensität immer mit der Wienschen Näherung gerechnet werden, wenn Objekte bei einer Temperatur unterhalb ca. 200C beobachtet werden.