Diskretisierung des Simulationsvolumens

Das Ziel der Simulation ist es, das zeitliche Verhalten eines Wasservolumens unter den gegebenen Me\3bedingungen (siehe Kapitel 6) numerisch so exakt wie möglich zu beschreiben. Dazu werden die horizontalen Abmessungen des Simulationsvolumens der Grö\3e des vom Laser erhitzten Bereiches angepa\3t. Die vertikale Abmessung des Simulationsvolumens mu\3 so gro\3 gewählt werden, da\3 Randeffekte an der unteren Grenze des Volumens die Form der Temperaturverteilung nicht verfälschen. Die horizontale Auflösung der Diskretisierung wird der Auflösung des Kamerabildes angepa\3t. Dadurch kann aus dem Simulationsergebnis direkt ein künstliches Kamerabild berechnet werden. Eine feinere Auflösung liefert Details, die in der Messung nicht zu erkennen sind. Um das Tiefenprofil der Temperaturverteilung innerhalb der Grenzschicht exakt genug auflösen zu können, müssen die vertikalen Skalen um mindestens zwei Grö\3enordnungen kleiner sein als die horizontalen Skalen. Nur so lä\3t sich der Beitrag verschiedener Tiefenschichten zum Kamerabild mit ausreichender Genauigkeit berücksichtigen. Zusätzlich ist die Diffusion auf dieser Skala von etwa 10m sehr effektiv. Auf noch kleineren Skalen werden Temperaturinhomogenitäten innerhalb von weniger als 1s (für Skalen unterhalb von 1m) ausgeglichen.

Zur Diskretisierung wird das Simulationsvolumen in ein Gitter mit den Gitterabständen , und eingeteilt. Die Gitterpunkte stellen die Mittelpunkte diskreter Boxen mit dem Volumen dar. Damit ergeben sich die Koordinaten einer Box, an der Position innerhalb des Volumens, zu
 
mit den ganzzahligen Werten i, j und k. Die Ausdehnung des Simulationsvolumens in die drei Koordinatenrichtungen beträgt , und , wobei der Ursprung des Koordinatensystems in einer der oberen Ecken des Simulationsvolumens liegt (Abb. 5.1). Die Temperaturen an den diskreten Gitterpunkten repräsentieren den Mittelwert der Temperatur der gesamten Box.

simvol

  
Abbildung: Schematische Darstellung des Simulationsvolumens. Die Intensität des Laserstrahls auf der Wasseroberfläche ist durch die gau\3förmige Verteilung angedeutet.

Zur Anpassung der Simulation an die Me\3bedingungen wurde die folgende Aufteilung des Simulationsvolumens gewählt:

Bei der numerischen Lösung der Differentialgleichung des Wärmetransports werden die Veränderungen einer Temperaturverteilung innerhalb einer Zeit aus der Temperatur zu einem früheren Zeitpunkt berechnet. Die Differentialgleichung selbst beschreibt dabei die Regel, nach der die Änderungen ablaufen. Dazu mu\3 auch die Zeit in einzelne, diskrete Zeitschritte unterteilt werden. Je kleiner die Zeitschritte sind, desto genauer wird der zeitliche Temperaturverlauf mit der Realität übereinstimmen. Bei zu kleinen Schritten werden jedoch die Temperaturänderungen pro Zeitschritt sehr klein, was zu Rundungsfehlern führen kann. Zusätzlich wächst die Rechenzeit stark an. Zu gro\3e Zeitschritte führen zu numerischen Instabilitäten. Aus der Diskretisierung der Differentialgleichung in Abschnitt 5.3.2 ergeben sich automatisch Bedingungen für die maximale Grö\3e der Zeitschritte.

Im folgenden wird die Temperaturverteilung auf dem diskreten Gitter zu einem Zeitpunkt t mit

bezeichnet. Die Zeitkoordinate wird dabei als oberer Index angegeben.