Das Lambertsche Cosinus-Gesetz

lambrad

  
Abbildung: (a): Geometrische Anordnung von Quelle (dS) und Detektor (dA). (b): Verteilung der Strahlungsstärke einer Quelle nach dem Lambertschen Cosinus-Gesetz.

Interessiert man sich für die Strahlung, die von einem Detektor empfangen wird, der unter einem bestimmten Winkel () zu der strahlenden Oberfläche steht und dabei einen Raumwinkel einnimmt, mu\3 die Winkelverteilung der Strahlung bekannt sein, um den Bruchteil der emittierten Gesamtstrahlung zu berechnen, den der Detektor empfängt. Abbildung 2.1 zeigt die geometrische Anordnung. Dabei bezeichnet dS ein differentielles Oberflächenelement der Strahlungsquelle und dA ein differentielles Oberflächenelement des Detektors, welches von dS aus gesehen unter dem Raumwinkel erscheint. Der Radiusvektor von dS nach dA steht unter einem Winkel zur Oberflächen-Normalen der Strahlungsquelle.

Experimentell zeigt sich, da\3 der Strahlungsflu\3 , den dA von dS empfängt, proportional zum Cosinus des Winkels ist. Zusätzlich ist er proportional zu den Flächen dS und dA und nimmt mit dem Quadrat der Entfernung r von dA zu dS ab. Dies führt zu der Beziehung
 
mit .

Die Grö\3e ist aber genau die Fläche dS, projeziert auf die Ebene senkrecht zur Verbindungslinie zwischen Quelle und Detektor (Abb. 2.5a). Dies ist die Fläche, unter der das Flächenelement dS vom Detektor aus gesehen wird. Wird die Flu\3dichte, die pro Raumwinkel abgestrahlt wird, auf diese scheinbare Fläche bezogen, so erhält man die Definition der Proportionalitätskonstanten L, der Strahlungsdichte (2.4). Ist L richtungsunabhängig, dann wird die Strahlungsquelle als Lambertscher Strahler bezeichnet. Ein Lambertscher Strahler emittiert Strahlung richtungsunabhängig, d. h. völlig diffus.

Die Strahlungsstärke , die unter einem beliebigen Winkel zur Oberflächennormalen der Quelle abgestrahlt wird, ergibt sich damit zu:

Für Oberflächen mit richtungsunabhängiger Strahlungsdichte hängt die Strahlstärke in eine bestimmte Richtung nur vom Cosinus des Neigungswinkels ab. Dies ist als Lambertsches Cosinus-Gesetz bekannt. Eine Lambertsche Oberfläche erscheint unter allen Richtungen gleich `hell'.

Pro Oberflächenelement wird damit unter einem bestimmten Winkel der Strahlungsflu\3
 
in einen Raumwinkel abgestrahlt. Diese Grö\3e ist wichtig zur Berechnung des Strahlungsaustausches zwischen Oberflächen (Kapitel 2.5). Es zeigt sich, da\3 bei transparenten Objekten (die damit keine schwarzen Strahler sind), wie z. B. der Wasseroberfläche, dieser einfache Zusammenhang nicht mehr gilt und I tiefenabhängig wird.

Eine Lambertsche Oberfläche hat unter verschiedenen Winkeln die gleiche Helligkeit. Die Richtungsabhängigkeit der Strahlstärke ist dabei jedoch durch das Cosinus-Gesetz gegeben. Dieser scheinbare Widerspruch löst sich, wenn zwischen der Abstrahlung der Oberfläche und dem, was der Detektor empfängt, unterschieden wird. (Siehe Abbildung 2.5a).

Ein einzelnes Oberflächenelement strahlt nach dem Cosinus Gesetz ab (2.18). Der Detektor sieht unter dem Winkel allerdings eine verkleinerte Fläche die strahlt und damit die Fläche dS unter einem verkleinerten Raumwinkel . Da er aber einen konstanten (durch die Detektorgeometrie gegebenen) Öffnungswinkel hat, sieht er mehr Flächenelemente als unter senkrechtem Beobachtungswinkel. Bei Lambertschen Strahlern kompensiert mit zunehmendem Neigungswinkel die wachsende Anzahl an `gesehenen' Oberflächenelementen die sinkende Strahlstärke der einzelnen Oberflächenelemente in Richtung des Detektors. Äquivalent dazu ist die Aussage, da\3 die verminderte Strahlstärke unter einem gleicherma\3en verkleinerten Raumwinkel gesehen wird und daher pro Raumwinkelelement (vom Detektor aus gesehen, also nicht mit in der Definition von I verwechseln!) der gleiche Flu\3 ankommt. Solange ein Detektor einen Ausschnitt der gesamten Quellenoberfläche sieht (und nicht der Rand der Quelle in den Bildausschnitt wandert), erscheint diese unabhängig vom Winkel in der gleichen Helligkeit.

Man mu\3 hier also deutlich zwischen den Grö\3en, die vom Detektor aus gesehen werden und denen, die von der Quelle aus gesehen werden, unterscheiden.

Abbildung 2.5b zeigt graphisch die Abstrahlcharakteristik einer Lambertschen Oberfläche. Die Charakteristik von Nichtlambertschen Flächen weist eine zusätzliche Winkelabhängigkeit auf, die meist in Normalenrichtung verstärkt erscheint, während mit zunehmendem Winkel die Strahlungsleistung schneller abnimmt.

Beispiele für Lambertsche Oberflächen im Infraroten sind:

• Schwarze Strahler, bzw. Hohlraumstrahler und
• Glühende Oberflächen, z. B. glühende Metalloberflächen.

  Da die Helligkeit richtungsunabhängig ist, erscheinen die Oberflächen von glühenden Körpern meist flach, da nicht anhand einer winkelabhängigen Helligkeitsänderung die Oberflächenkrümmung abgeschätzt werden kann.

Beispiele für Nichtlambertsche Oberflächen im Infraroten sind:

• die Sonnenoberfläche und
• die Wasseroberfläche

für gro\3e Winkel. Daher erscheint die Sonne am Rand etwas dunkler als in der Mitte. Ein Grund dafür ist bei beiden, da\3 sie keine reinen Oberflächenstrahler sind. Die aus dem Inneren des Körpers emittierte Strahlung wird von den darüberliegenden Schichten teilweise wieder absorbiert, wobei die Weglänge der Strahlung richtungsabhängig ist. Dies wird in Kapitel 2.5.2 für die Wasseroberfläche näher erläutert.

Wird Gleichung (2.18) über die gesamte Hemisphäre integriert, so erhält man den Strahlungsflu\3 , der von einem Oberflächenelement dS der Quelle in den gesamten Halbraum abgestrahlt wird, d. h. die spezifische Ausstrahlung R. Mit und ergibt sich dieses Integral zu
 
Die Gesamtemission in die Hemisphäre ist durch das Lambertsche Cosinus-Gesetz somit exakt mal so gro\3, wie die Emission in ein Raumwinkelelement senkrecht zur Oberfläche. Sie ist um einen Faktor 2 kleiner als erwartet würde, wenn vom Oberflächenelement dS eine Strahlungsstärke I vom Betrag isotrop unter allen Winkeln, d. h. in den Raumwinkel 2, abgestrahlt werden würde.