Zur Berechnung der partiellen Ableitungen auf dem diskreten
Gitter, wird die Temperaturverteilung in einer Taylorreihe
entwickelt. Für festes 
erhält man
woraus sich die partielle, zeitliche Ableitung
ergibt. Dies stellt die Näherung der ersten Ableitung als
Differenzenquotient dar, wodurch ein Restterm 
der Ordnung 
übrig bleibt. Für hinreichend
kleine Zeitschritte wird dieser Term vernachlässigbar und
wird daher, zur diskreten Approximierung der partiellen Ableitung,
vernachlässigt.
In x-Richtung ergeben sich die beiden Taylor-Entwicklungen
für festes j, k und t. Die beiden Gleichungen
(5.10) und (5.10) führen zu zwei möglichen
Realisierungen der partiellen Ableitung:
dem sogenannten Vorwärtsgradienten (5.12)
bzw. Rückwärtsgradienten (5.12). Beide
führen zu Fehlern der Ordnung 
.
Durch Subtrahieren der Gleichung (5.10) von
Gleichung (5.10) ergibt sich eine weitere
Realisierungsmöglichkeit:
Diese partielle Ableitung ist symmetrisch bezüglich der
Koordinate i. Die Ableitung wird durch die Änderung zwischen
den Punkten i+1 und i-1 approximiert. Der Fehler ist dabei
nur von der Ordnung 
.
Welcher der möglichen diskreten Gradienten verwendet
wird hängt davon ab, womit der Gradient verknüpft wird. Im
Falle des Konvektionstermes (5.2), ergibt sich durch
die Verknüpfung des Gradienten mit der Geschwindigkeit eine
Vorzugsrichtung. Temperaturänderungen durch Konvektion können
nur durch stromaufwärts liegenden Gradienten hervorgerufen
werden. Daher wird der Rückwärtsgradient sinnvollere
Ergebnisse liefern als der Vorwärtsgradient. Für
die zeitliche Ableitung (5.8) wird im
allgemeinen der Vorwärtsgradient benutzt. Aus ihm ergibt sich direkt die
Änderung zwischen der gesuchten Temperatur zum
Zeitpunkt 
und der bekannten Temperatur zum
Zeitpunkt t.
Die zweite partielle Ableitung ergibt sich durch Addition der
Gleichungen (5.10) und (5.10):
Der Fehler ist hierbei von der Ordnung .
Die partiellen Ableitungen bezüglich der beiden anderen Raumrichtungen y und z ergeben sich analog zur x-Richtung. Lösungsverfahren, welche die in diesem Abschnitt hergeleiteten Diskretisierungen der Ableitungen benutzen, werden als Finite-Differenzen-Verfahren bezeichnet. Die partiellen Ableitungen werden dabei durch Differenzenquotienten ersetzt.